문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 몬티 홀 문제 (문단 편집) === 경우의 수 계산을 잘못함 === 좀 더 진지하게 경우의 수를 따지는 사람들 중에서도 총 '''4가지''' 경우의 수 중 유리한 경우가 2가지이므로 확률은 50%다! 라고 생각하는 사람들이 많다. 무슨 뜻이냐면 만약에 3번에 자동차가 있다고 하면, * 1번을 골랐을 경우에는 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 2번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다. * 2번을 골랐을 때도 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 1번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다. 여기까지는 아무 문제가 없어 보인다. 그런데... * 3번 문을 골랐을 때는 사회자가 두 가지 선택을 할 수 있다. 1. 1번 문을 열었을 때 남은 문이 2번이므로 바꾸면 불리하다. 1. 2번 문을 열었을 때 남은 문이 1번이므로 바꾸면 불리하다. * 따라서 경우의 수는 넷인데 유리한 경우는 2가지이므로 확률은 1/2이다라는 것. 이 증명이 틀린 이유는, 3번문에서 파생되는 2가지 선택지 전체가 1번 선택지의 한가지 경우의 수, 2번 선택지의 한가지 경우의 수와 동등하기 때문이다. 1,1,1,1이 아니라 0.5, 0.5, 1, 1 이라고 생각해야한다. 이는 확률로 계산해보면 더욱 명확해진다. 위와 같은 경우, 즉 3번 문에 자동차가 들어 있는 상황이라고 할 때, * 1번 문을 고를 확률이 1/3. * 2번 문을 고를 확률이 1/3. * 3번 문을 고를 확률이 1/3인데, * 사회자가 1번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 1번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6 * 사회자가 2번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 × 2번 문을 열어줄 확률(1/3 × 1/2) = 1/6 이해가 가시는가? 만약 위의 증명이 맞다고 하면 참가자는 뭐에 홀린 듯이, 염소가 있는 문을 선택할 확률과 자동차를 선택할 확률이 같아야 한다. 즉, 염소가 있는 문을 고를 확률 1/4(× 2), 자동차가 있는 문을 고를 확률 1/2가 되어야 위의 증명이 성립한다고 할 수 있다. 요약하자면 사람들이 흔하게 하는 오류는 이런 것이다. 1번 선택 → 하나의 문이 열림 → 그 상태에서 가능한 경우의 수는 1번 선택 문에 정답이 있거나 오답이 있거나. → 2가지 경우의 수. → 확률의 수학적정의 해당경우/전체경우 → 0.5 대부분의 사람들이 생각한 0.5가 오류인 이유는 고등학교 교과과정에서 정의된 확률의 정의의 가정에 있다. 해당경우/전체경우를 확률로 정의할 때 분명히 앞에 "같은 확률로 일어나는 사건에 대해서"라는 가정이 있었다. 즉 2가지 경우 기존 선택이 옳은 경우와 바꾼 선택이 옳은 경우는 동등한 정도로 일어나지 않기 때문에 1/2로 계산하면 당연히 틀린다. 답부터 말하자면 두 경우가 1:2의 가중치를 가진다. 즉 바꾼 선택이 옳은 경우가 기존 선택이 옳은 경우에 비해 2배 더 잘 일어나고 그래서 3의 가중치 중 2의 가중치를 가진 바꾼 선택이 2/3 확률로 유리하게 된다. 왜 이렇게 되는지 살펴보자. 주어진 상황은 오로지 내가 뭔가를 선택했고 남은 두 문 중에 오답 하나가 열렸다는 것이다. 이 상황에서 생각할 수 있는 모든 경우의 수를 생각해보자. 편의상 3번에 정답이 있는 경우에 대해 생각해보면, 지금 일어난 상황은 (내가 선택한 문, 몬티 홀이 열어준 문)의 순서쌍으로 도식화할 수 있다. 즉, (1, 2) (2, 1) (3, 1) (3, 2) 이 4개 중에 하나가 일어났음이 틀림이 없다. 여기서 각 순서쌍의 확률은 (1, 2): 1/3×1 (2, 1): 1/3×1 (3, 1): 1/3×1/2 (3, 2): 1/3×1/2 보이는가? (1, 2)가 일어날 정도와 (3, 1)이 일어날 정도는 같지 않다. 여기서 수많은 사람들이 낚이고 제대로 설명 못한다. 가중치로 설명하자면, (1, 2)와 (2, 1)은 2 정도로 일어나고 (3, 1) (3, 2)는 1 정도로 일어난다. 이 상태에서 (1, 2) (2, 1) 즉 4의 비중에선 바꾸는 것이 정답으로 이어지고 (3, 1)(3, 2) 2의 비중에서는 고수하는 것이 정답으로 이어진다. 그렇기 때문에 바꾸는 것이 4/6의 정답률을 가져다주므로 유리하다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기